好的，遵照您的要求，以下是这段内容中涉及到的所有公式的无遗漏列表、最详细具体的解释以及具体的数值示例。

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本文档中总共涉及了8个核心公式/原理，我们将逐一进行详细解析。

1. 偶极矩 (Dipole Moment)

公式

行内公式：$\vec{\mu} = Q \vec{r}$

为了更准确地表示其矢量性质（原文中用下划线表示矢量），我们通常写作：

$$\vec{\mu} = Q \vec{r}$$

公式解释

这个公式定义了键偶极矩 (bond dipole moment)，它是一个用来衡量化学键中电荷分离程度的物理量。

• $\vec{\mu}$ (mu) 代表偶极矩矢量。它既有大小也有方向。其方向被定义为从正电荷中心指向负电荷中心。偶极矩的单位通常是德拜 (Debye, D)。
• $Q$ 代表分离的电荷的大小。在一个极性共价键中，由于电负性差异，一个原子带上部分负电荷（$\delta-$），另一个原子带上等量的部分正电荷（$\delta+$）。$Q$ 就是这个部分电荷的绝对值，单位是库仑 (C)。
• $\vec{r}$ 代表连接两个电荷中心的距离矢量。其方向从正电荷指向负电荷，大小等于键长，单位是米 (m)。

这个公式表明，键的极性（偶极矩的大小）不仅取决于原子间电负性的差异（这决定了$Q$的大小），还取决于它们之间的距离（键长$r$）。

具体数值示例

我们以氯化氢（HCl）分子为例进行计算。

• 已知数据:

  • HCl的实验测得偶极矩 $\mu$ 约为 $1.08 \text{ D}$。
  • H-Cl 键的键长 $r$ 约为 $1.27 \text{ Å}$ (埃) = $1.27 \times 10^{-10} \text{ m}$。
  • 单位换算关系: $1 \text{ D} = 3.336 \times 10^{-30} \text{ C} \cdot \text{m}$。
  • 一个电子的电荷 $e = 1.602 \times 10^{-19} \text{ C}$。

• 计算过程:

  1. 首先，将偶极矩的单位从德拜换算为国际单位制（C·m）： $\mu = 1.08 \text{ D} \times (3.336 \times 10^{-30} \frac{\text{C} \cdot \text{m}}{\text{D}}) = 3.60 \times 10^{-30} \text{ C} \cdot \text{m}$
  2. 使用公式 $\mu = Q r$ 来计算部分电荷 $Q$ 的大小： $Q = \frac{\mu}{r} = \frac{3.60 \times 10^{-30} \text{ C} \cdot \text{m}}{1.27 \times 10^{-10} \text{ m}} = 2.83 \times 10^{-20} \text{ C}$
  3. 为了更好地理解这个电荷的大小，我们可以计算它相当于一个电子电荷的百分之多少（即键的离子性百分比）： 离子性百分比 $= \frac{Q}{e} \times 100\% = \frac{2.83 \times 10^{-20} \text{ C}}{1.602 \times 10^{-19} \text{ C}} \times 100\% \approx 17.7\%$

• 结论: 这说明在HCl分子中，电子云偏向氯原子，使得氢原子带有约 $+0.177e$ 的部分正电荷，氯原子带有约 $-0.177e$ 的部分负电荷。

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2. 分子总偶极矩 (Molecular Dipole Moment)

公式/原理

$\vec{\mu}_{\text{总}} \approx \text{键偶极的矢量和}$ 更严谨的数学表达是：

$$\vec{\mu}_{\text{总}} = \sum_{i} \vec{\mu}_{i}$$

公式解释

一个多原子分子的总偶极矩，是分子内所有键偶极矩以及孤对电子偶极矩的矢量和。这意味着计算总偶极矩时，必须同时考虑各个键偶极的大小和它们在三维空间中的方向（即分子的几何构型）。

• 如果各个键偶极矩的矢量和相互抵消，那么整个分子就是非极性的，即使它含有极性键。
• 如果矢量和不为零，那么分子就是极性的。

具体数值示例

以二氧化碳（$\text{CO}_2$）和水（$\text{H}_2\text{O}$）为例，它们都含有极性键，但分子的极性却不同。

• 示例1：二氧化碳 ($\text{CO}_2$)

  • 结构: $\text{O=C=O}$，是线性分子，键角为180°。
  • 分析: 氧的电负性大于碳，所以每个C=O键都是极性的。两个键的偶极矩大小相等，但方向完全相反。
  • 计算: $\vec{\mu}_{\text{C=O (左)}} + \vec{\mu}_{\text{C=O (右)}} = (+\mu) + (-\mu) = 0$
  • 结论: 两个键偶极矩在矢量上完全抵消，所以 $\text{CO}_2$ 的总偶极矩 $\vec{\mu}_{\text{总}} = 0$，是一个非极性分子。

• 示例2：水 ($\text{H}_2\text{O}$)

  • 结构: 水分子是V形（弯曲）结构，H-O-H键角约为104.5°。
  • 分析: 氧的电负性大于氢，所以两个O-H键都是极性的，偶极矩方向都从H指向O。由于分子是弯曲的，这两个矢量无法抵消。
  • 计算: 将两个O-H键偶极矩矢量进行加法运算，会得到一个指向氧原子方向的合矢量。
  • 结论: 两个键偶极矩无法抵消，总偶极矩 $\vec{\mu}_{\text{总}} = 1.85 \text{ D}$，不为零。因此，水是一个极性分子。

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3. 形式电荷 (Formal Charge, FC)

公式

$$\text{FC} = \binom{\text{自由原子中的}}{\text{价电子数}} - \frac{1}{2}\binom{\text{共享}}{\text{电子数}} - \binom{\text{非键合（孤对）}}{\text{电子数}}$$

或者用英文缩写：

$$\text{FC} = V - \frac{1}{2}S - N$$

公式解释

形式电荷是一种理论上的“电子记账”方法，用于确定在路易斯结构中，每个原子“名义上”拥有多少价电子，并与其中性状态下的价电子数进行比较。它假定所有共价键中的电子都被成键原子平均共享。

• $V$ (Valence electrons) 是孤立的、中性原子价电子层中的电子数（可从元素周期表中查到）。
• $S$ (Shared electrons) 是该原子在路易斯结构中参与形成共价键的电子总数（即成键电子数）。
• $N$ (Nonbonding electrons) 是该原子在路易斯结构中未成键的价电子数（即孤对电子数）。

形式电荷的总和必须等于该分子或离子的总电荷。形式电荷接近于零的路易斯结构通常更稳定。

具体数值示例

以硝基甲烷 ($\text{CH}_3\text{NO}_2$) 中的一个共振结构为例（如下图所示）：

• 氮原子 (N):

  • 自由N原子的价电子数 ($V$) = 5。
  • N原子周围形成了4个键（一个N-C单键，一个N=O双键，一个N-O单键），共享电子数 ($S$) = $2 \times 4 = 8$。
  • N原子上没有孤对电子，非键合电子数 ($N$) = 0。
  • 计算: $FC_N = 5 - \frac{1}{2}(8) - 0 = 5 - 4 - 0 = +1$

• 双键氧原子 ($\text{O}_1$):

  • 自由O原子的价电子数 ($V$) = 6。
  • $\text{O}_1$ 形成一个双键，共享电子数 ($S$) = 4。
  • $\text{O}_1$ 有2对孤对电子，非键合电子数 ($N$) = 4。
  • 计算: $FC_{O_1} = 6 - \frac{1}{2}(4) - 4 = 6 - 2 - 4 = 0$

• 单键氧原子 ($\text{O}_2$):

  • 自由O原子的价电子数 ($V$) = 6。
  • $\text{O}_2$ 形成一个单键，共享电子数 ($S$) = 2。
  • $\text{O}_2$ 有3对孤对电子，非键合电子数 ($N$) = 6。
  • 计算: $FC_{O_2} = 6 - \frac{1}{2}(2) - 6 = 6 - 1 - 6 = -1$

• 验证: 分子总电荷 = $\text{FC}(\text{C}) + 3 \times \text{FC}(\text{H}) + \text{FC}(\text{N}) + \text{FC}(\text{O}_1) + \text{FC}(\text{O}_2) = 0 + 3(0) + (+1) + (0) + (-1) = 0$。这与中性的硝基甲烷分子相符。

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4. 共振杂化体的波函数 (Wavefunction of a Resonance Hybrid)

公式

$$\Psi_{\text {nitromethane}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\Phi_{1}+\Phi_{2}\right)$$

公式解释

这个公式是量子化学中线性组合原理的一个应用，用来描述共振现象。

• $\Psi$ (Psi) 代表分子的真实波函数。波函数是描述分子中电子状态的数学函数，其绝对值的平方代表在空间某点找到电子的概率密度。
• $\Phi_1$ 和 $\Phi_2$ (Phi) 分别代表两个极限共振结构的近似波函数。这些共振结构本身并非真实存在的、可以分离的分子，而是我们为了用路易斯结构描述电子离域现象而构建的理论模型。
• $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 是一个归一化系数。在量子力学中，总概率必须为1，这个系数确保了最终的波函数$\Psi$满足这一数学要求。当两个共振结构权重相等时，系数是 $\frac{1}{\sqrt{2}}$。

此公式的核心思想是：分子的真实电子结构 ($\Psi$) 并不是在共振结构$\Phi_1$和$\Phi_2$之间来回振荡，而是这两个（或多个）理论结构的叠加态或杂化体。在硝基甲烷的例子中，两个共振结构权重相等，意味着真实的分子结构是这两个结构的完美平均。

具体数值示例

这个公式是概念性的，不涉及简单的数值代入计算。但我们可以用它的结论来说明一个物理化学事实：

• 背景: 在共振结构$\Phi_1$中，N和$\text{O}_1$之间是双键，N和$\text{O}_2$之间是单键。在$\Phi_2$中则相反。
  • 一个典型的C-N单键键长约 $1.47 \text{ Å}$，双键约 $1.30 \text{ Å}$。
  • 一个典型的N-O单键键长约 $1.40 \text{ Å}$，双键约 $1.21 \text{ Å}$。
• 应用公式的结论: 由于真实的波函数$\Psi$是$\Phi_1$和$\Phi_2$的等权重叠加，这意味着真实的硝基甲烷分子中：
  1. 两个N-O键是完全等价的，没有单双键之分。
  2. 它们的键长介于单键和双键之间，实验测得约为 $1.22 \text{ Å}$。
  3. 两个氧原子平均分担-1的电荷，每个氧原子带有约-0.5的电荷。

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5. 酸解离平衡常数 ($K_{\text{eq}}$ 和 $K_{\text{a}}$)

公式 5a: 一般平衡常数 ($K_{\text{eq}}$)

$$\mathrm{K}_{\mathrm{eq}}=\frac{\left[\mathrm{CH}_3 \mathrm{CO}_2^{-}\right]\left[\mathrm{H}_3 \mathrm{O}^{+}\right]}{\left[\mathrm{CH}_3 \mathrm{CO}_2 \mathrm{H}\right]\left[\mathrm{H}_2 \mathrm{O}\right]}$$

公式 5b: 酸解离常数 ($K_{\text{a}}$)

$$\mathrm{K}_{\mathrm{a}} = \frac{\left[\mathrm{CH}_3 \mathrm{CO}_2^{-}\right]\left[\mathrm{H}^{+}\right]}{\left[\mathrm{CH}_3 \mathrm{CO}_2 \mathrm{H}\right]}$$

公式解释

• $K_{\text{eq}}$ (Equilibrium Constant)：描述了任何可逆反应在达到化学平衡时，产物浓度与反应物浓度的比率。方括号 [ ] 表示物种的摩尔浓度 (mol/L)。$K_{\text{eq}}$ 的值可以告诉我们平衡时反应进行的程度。
• $K_{\text{a}}$ (Acid Dissociation Constant)：是专门用于描述弱酸在溶液（通常是水）中解离（电离）程度的平衡常数。在稀水溶液中，水的浓度 $[\text{H}_2\text{O}]$ 几乎是一个常数（约55.5 M），因此通常将其并入 $K_{\text{eq}}$ 中，得到一个新的常数 $K_{\text{a}}$，即 $K_{\text{a}} = K_{\text{eq}} \times [\text{H}_2\text{O}]$。$K_{\text{a}}$ 值越大，表示酸在水中解离出的 $\text{H}^+$ 越多，酸性越强。

具体数值示例

以0.1 M的乙酸 ($\text{CH}_3\text{CO}_2\text{H}$) 溶液为例。

• 已知数据: 乙酸的 $K_{\text{a}}$ 约为 $1.8 \times 10^{-5}$（文本中给出的$2.5 \times 10^{-5}$也是一个近似值，我们用这个继续）。 $K_{\text{a}} = 2.5 \times 10^{-5}$
• 反应: $\mathrm{CH}_3 \mathrm{CO}_2 \mathrm{H} + \mathrm{H}_2 \mathrm{O} \rightleftharpoons \mathrm{CH}_3 \mathrm{CO}_2^{-} + \mathrm{H}_3 \mathrm{O}^{+}$
• 计算过程: 假设在平衡时，有 $x$ mol/L的乙酸解离。
  • $[\mathrm{CH}_3 \mathrm{CO}_2 \mathrm{H}] = 0.1 - x$
  • $[\mathrm{CH}_3 \mathrm{CO}_2^{-}] = x$
  • $[\mathrm{H}_3 \mathrm{O}^{+}] = x$ 将这些值代入 $K_{\text{a}}$ 表达式： $K_{\text{a}} = \frac{[x][x]}{[0.1-x]} = \frac{x^2}{0.1-x}$ 因为乙酸是弱酸，解离度很小，$x$ 远小于0.1，所以我们可以近似认为 $0.1-x \approx 0.1$。 $2.5 \times 10^{-5} \approx \frac{x^2}{0.1}$ $x^2 \approx 2.5 \times 10^{-6}$ $x = \sqrt{2.5 \times 10^{-6}} \approx 1.58 \times 10^{-3}$
• 结论: 在0.1 M的乙酸溶液中，平衡时氢离子浓度 $[\mathrm{H}_3 \mathrm{O}^{+}]$ 约为 $1.58 \times 10^{-3} \text{ M}$。

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6. pKa

公式

$$\mathrm{pK}_{\mathrm{a}} = -\log_{10}(\mathrm{K}_{\mathrm{a}})$$

公式解释

$pK_{\text{a}}$ 是对酸解离常数 $K_{\text{a}}$ 取以10为底的负对数。引入 $pK_{\text{a}}$ 的主要目的是为了用一个更简单、更直观的数值来表示酸的强度。

• 由于 $K_{\text{a}}$ 值通常很小（例如 $10^{-5}$），直接比较不方便。$pK_{\text{a}}$ 将其转换为一个通常在-10到50之间的正数。
• 因为有负号的存在，$pK_{\text{a}}$ 与酸的强度成反比关系：
  • 酸性越强 $\rightarrow K_{\text{a}}$ 越大 $\rightarrow$ $pK_{\text{a}}$ 越小。
  • 酸性越弱 $\rightarrow K_{\text{a}}$ 越小 $\rightarrow$ $pK_{\text{a}}$ 越大。

具体数值示例

• 示例1：乙酸 ($\text{CH}_3\text{CO}_2\text{H}$)

  • 已知 $K_{\text{a}} = 2.5 \times 10^{-5}$
  • 计算: $\mathrm{pK}_{\mathrm{a}} = -\log(2.5 \times 10^{-5}) = -(\log(2.5) + \log(10^{-5})) = -(0.4 - 5) = 4.6$
  • 这与文本中给出的值一致。

• 示例2：盐酸 (HCl)

  • 盐酸是强酸，其 $K_{\text{a}}$ 值非常大，约为 $10^7$。
  • 计算: $\mathrm{pK}_{\mathrm{a}} = -\log(10^7) = -7$
  • 这个非常小的 $pK_{\text{a}}$ 值（负值）表明HCl是极强的酸。

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7. 由 pKa 计算酸碱反应的平衡常数

公式

$$\mathrm{K}_{\mathrm{eq}} = \frac{\mathrm{K}_{\mathrm{a}}(\text{反应物酸})}{\mathrm{K}_{\mathrm{a}}(\text{生成物酸})}$$

结合 $pK_{\text{a}} = -\log K_{\text{a}}$ (即 $K_{\text{a}} = 10^{-pK_{\text{a}}}$)，可以推导出：

$$\mathrm{K}_{\mathrm{eq}} = \frac{10^{-\mathrm{pK}_{\mathrm{a}}(\text{反应物酸})}}{10^{-\mathrm{pK}_{\mathrm{a}}(\text{生成物酸})}} = 10^{\mathrm{pK}_{\mathrm{a}}(\text{生成物酸}) - \mathrm{pK}_{\mathrm{a}}(\text{反应物酸})}$$

公式解释

这个公式可以用来预测一个酸碱反应的平衡方向和程度，只需要知道参与反应的两种酸（反应物侧的酸和生成物侧的酸）的 $pK_{\text{a}}$ 值即可。

• $\text{pK}_{\text{a}}(\text{反应物酸})$: 反应物中作为酸的物种的 $pK_{\text{a}}$ 值。
• $\text{pK}_{\text{a}}(\text{生成物酸})$: 生成物中作为酸的物种（即反应物碱的共轭酸）的 $pK_{\text{a}}$ 值。

平衡规律: 酸碱反应总是趋向于生成更弱的酸和更弱的碱。更弱的酸对应着更大的 $pK_{\text{a}}$ 值。

• 如果 $K_{\text{eq}} > 1$，平衡偏向右侧（生成物）。
• 如果 $K_{\text{eq}} < 1$，平衡偏向左侧（反应物）。

具体数值示例

以文本中的反应为例： $\underset{\text{反应物酸}}{\mathrm{CH}_3 \mathrm{NH}_3^{+}} + \mathrm{CH}_3 \mathrm{CO}_2^{-} \rightleftharpoons \mathrm{CH}_3 \mathrm{NH}_2 + \underset{\text{生成物酸}}{\mathrm{CH}_3 \mathrm{CO}_2 \mathrm{H}}$

• 已知数据:

  • 反应物酸是甲基铵离子 $\mathrm{CH}_3 \mathrm{NH}_3^{+}$，其 $\mathrm{pK}_{\mathrm{a}} \approx 11$。（注：文本中表格给出NH₄⁺的pKa是10，CH₃NH₃⁺的pKa实际约为10.6，11是近似值）
  • 生成物酸是乙酸 $\mathrm{CH}_3 \mathrm{CO}_2 \mathrm{H}$，其 $\mathrm{pK}_{\mathrm{a}} \approx 5$。

• 计算过程: $\mathrm{K}_{\mathrm{eq}} = 10^{\mathrm{pK}_{\mathrm{a}}(\text{生成物酸}) - \mathrm{pK}_{\mathrm{a}}(\text{反应物酸})}$ $\mathrm{K}_{\mathrm{eq}} = 10^{(5 - 11)} = 10^{-6}$

• 结论: 计算出的平衡常数 $K_{\text{eq}} = 10^{-6}$，这是一个非常小的值（远小于1）。这表明反应的平衡位置严重偏向左侧，即反应物（甲基铵离子和乙酸根）的浓度远高于生成物（甲胺和乙酸）的浓度。这也符合“平衡偏向更弱酸一侧”的规律，因为 $\mathrm{CH}_3 \mathrm{NH}_3^{+}$ ($pK_{\text{a}}=11$) 是比 $\mathrm{CH}_3 \mathrm{CO}_2 \mathrm{H}$ ($pK_{\text{a}}=5$) 弱得多的酸。